1.1 马尔科夫过程的基本概念

1.1.1 定义

马尔科夫过程是一类特殊的随机过程，其核心特征是无记忆性（Markov property）。

数学定义：设 $\{X_t, t \geq 0\}$ 是定义在概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的随机过程，状态空间为 $S$。如果对于任意的 $0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n < t$，有：

2.1 离散时间马尔科夫链的数学模型

2.1.1 严格定义

设 $\{X_n, n = 0, 1, 2, \ldots\}$ 是定义在离散时间集合上的随机过程，状态空间为 $S$。如果对于任意的 $n \geq 0$ 和任意状态序列 $i_0, i_1, \ldots, i_n, j \in S$，有：

3.1 连续时间马尔科夫过程的定义

3.1.1 基本定义

设 $\{X(t), t \geq 0\}$ 是定义在连续时间集合上的随机过程，状态空间为 $S$。如果对于任意的 $0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n < t$ 和任意状态 $i_0, i_1, \ldots, i_n, j \in S$，有：

知识点总结

1. 马尔科夫链的周期性

定义：状态 $i$ 的周期定义为：

知识点总结

1. 隐马尔科夫模型基本结构

隐马尔科夫模型（HMM）是一个双重随机过程：

• 隐状态序列 $\{X_t\}$：不可直接观测的马尔科夫链
• 观测序列 $\{Y_t\}$：可观测的随机过程

知识点总结

1. 金融时间序列的马尔科夫性质

金融市场具有以下特征，使得马尔科夫模型成为合适的建模工具：

• 有限记忆性：市场效率假说暗示价格变化主要依赖于当前信息
• 状态依赖性：市场波动、流动性等在不同市场状态下表现不同
• 制度转换：市场在牛市、熊市等不同制度间转换

知识点总结

1. 股票价格的马尔科夫建模框架

离散化收益率状态：
将连续的收益率分布离散化为有限状态：

$$S_t \in \{\text{大涨}, \text{小涨}, \text{持平}, \text{小跌}, \text{大跌}\}$$

知识点总结

1. 马尔科夫制转换模型(MS-AR)

基本形式：

$$r_t = \mu_{s_t} + \phi_{s_t}r_{t-1} + \sigma_{s_t}\epsilon_t$$

知识点总结

1. 信用风险基础概念

信用风险是指借款人或交易对手未能履行合约义务而造成损失的风险。在马尔科夫框架下，我们可以将信用评级视为状态，分析其转移规律。

信用评级状态空间：

知识点总结

1. 利率期限结构基础

利率期限结构描述了不同期限的无风险利率之间的关系。在马尔科夫框架下，我们将利率建模为一个连续时间马尔科夫过程。

即期利率曲线：