向量的深入理解

向量的数学定义

向量是一个有序的数组，通常表示为：

$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$

线性相关性的精确定义

数学定义

给定向量组 $\{\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_n}\}$，如果存在不全为零的标量 $c_1, c_2, \ldots, c_n$，使得：

基的定义与性质

基的数学定义

向量空间 $V$ 的一个子集 $\mathcal{B} = \{\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_n}\}$ 称为 $V$ 的一个基，如果：

矩阵的定义与表示

矩阵的数学定义

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组。一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 可以表示为：

线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式

线性方程组是由若干个线性方程构成的方程系统：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

可逆矩阵的基本概念

矩阵的逆的定义

对于 $n \times n$ 方阵 $A$，如果存在矩阵 $B$ 使得：

行列式的几何意义

二维情况：面积

对于 $2 \times 2$ 矩阵：

线性变换的定义

函数视角

线性变换是一种特殊的函数，它将一个向量空间中的向量映射到另一个（或同一个）向量空间中的向量。

设 $T: V \rightarrow W$ 是从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 的映射，如果对于所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 和标量 $c$，满足：

特征值与特征向量的定义

基本定义

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，如果存在非零向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $\lambda$，使得：

矩阵对角化的基本概念

定义

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，如果存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，使得：