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第1章：线性代数基础入门

学习目标

理解线性代数的基本概念和重要性
掌握标量、向量、矩阵的基本定义
理解线性组合和线性相关性的直观含义
建立几何直观理解

线性代数的重要性

线性代数是现代数学的核心分支之一，在数据科学、机器学习、计算机图形学、物理学、工程学等众多领域都有重要应用。它提供了处理多维数据和线性关系的强大工具。

应用领域

数据科学: 主成分分析、降维、数据变换
机器学习: 神经网络权重、特征空间变换
计算机图形学: 3D变换、旋转、缩放
物理学: 量子力学状态描述、力学系统
经济学: 投入产出模型、最优化问题

Haiyue10/7/25About 5 min

第2章：向量空间基础理论

学习目标

深入理解向量的定义和几何意义
掌握向量的基本运算（加法、数乘）
理解向量空间的公理化定义
掌握子空间的概念和判定方法
理解零向量和负向量的作用

向量的深入理解

向量的数学定义

向量是一个有序的数组，通常表示为：

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

Haiyue10/7/25About 9 min

第3章：线性相关性与线性无关性

学习目标

深入理解线性相关和线性无关的定义
掌握线性相关性的几何解释
学会判断向量组线性相关性的方法
理解线性相关性与方程组解的关系
掌握最大线性无关组的求法

线性相关性的精确定义

数学定义

给定向量组 $\{\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_n}\}$ ，如果存在不全为零的标量 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ ，使得：

Haiyue10/7/25About 11 min

第4章：基与维数理论

学习目标

理解基的定义和重要性
掌握基的存在性和唯一性
理解维数的概念和计算方法
掌握坐标变换的原理
理解有限维向量空间的结构

基的定义与性质

基的数学定义

向量空间 $V$ 的一个子集 $\mathcal{B} = \{\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_n}\}$ 称为 $V$ 的一个基，如果：

Haiyue10/7/25About 13 min

第5章：矩阵基础理论与运算

学习目标

理解矩阵的定义和几何意义
掌握矩阵的基本运算（加法、数乘、乘法）
理解矩阵乘法的几何解释
掌握转置矩阵的性质
理解分块矩阵的运算规则

矩阵的定义与表示

矩阵的数学定义

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组。一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 可以表示为：

Haiyue10/7/25About 14 min

第6章：线性方程组理论

学习目标

理解线性方程组的几何意义
掌握高斯消元法的原理和步骤
理解行阶梯形和行最简阶梯形
掌握齐次和非齐次方程组的解的结构
理解解空间的概念

线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式

线性方程组是由若干个线性方程构成的方程系统：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

Haiyue10/7/25About 10 min

第7章：矩阵的逆与行列式基础

学习目标

理解可逆矩阵的定义和条件
掌握求逆矩阵的方法
理解行列式的定义和几何意义
掌握行列式的计算方法
理解行列式与线性变换的关系

可逆矩阵的基本概念

矩阵的逆的定义

对于 $n \times n$ 方阵 $A$ ，如果存在矩阵 $B$ 使得：

Haiyue10/7/25About 10 min

第8章：行列式深入理论

学习目标

深入理解行列式的性质
掌握行列式按行按列展开
理解行列式的代数余子式
掌握克拉默法则
理解行列式与体积的关系

行列式的几何意义

二维情况：面积

对于 $2 \times 2$ 矩阵：

Haiyue10/7/25About 9 min

第9章：线性变换基础

学习目标

理解线性变换的定义和性质
掌握线性变换的矩阵表示
理解线性变换的几何意义
掌握线性变换的核和像
理解线性变换与矩阵的对应关系

线性变换的定义

函数视角

线性变换是一种特殊的函数，它将一个向量空间中的向量映射到另一个（或同一个）向量空间中的向量。

设 $T: V \rightarrow W$ 是从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 的映射，如果对于所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 和标量 $c$ ，满足：

Haiyue10/7/25About 12 min

第10章：特征值与特征向量

学习目标

理解特征值和特征向量的定义
掌握特征值和特征向量的计算方法
理解特征值的几何意义
掌握特征多项式的性质
理解特征值在实际问题中的应用

特征值与特征向量的定义

基本定义

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$ ，如果存在非零向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $\lambda$ ，使得：

Haiyue10/7/25About 13 min

海越博客

线性代数的重要性

向量的深入理解

向量的数学定义

线性相关性的精确定义

数学定义

基的定义与性质

基的数学定义

矩阵的定义与表示

矩阵的数学定义

线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式

可逆矩阵的基本概念

矩阵的逆的定义

行列式的几何意义

二维情况：面积

线性变换的定义

函数视角

特征值与特征向量的定义

基本定义